|G| gerade --> ex. x mit x^2=e < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: Ist $G$ eine endliche Gruppe mit $|G|$ gerade, so gibt es [mm] $x\in [/mm] G$ mit [mm] $x\not= [/mm] e$ und [mm] $x^2 [/mm] = e$. |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter.
Kann man das vielleicht mit Klassengleichung, etc. lösen?
Als Ansatz habe ich lediglich, dass wegen $|G|$ gerade mindestens ein Element mit gerader Ordnung existiert; und dass ich nach einem Element x mit Ordnung 2 suche...
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Mi 16.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo steppenhahn,
> Zeige: Ist [mm]G[/mm] eine endliche Gruppe mit [mm]|G|[/mm] gerade, so gibt
> es [mm]x\in G[/mm] mit [mm]x\not= e[/mm] und [mm]x^2 = e[/mm].
Da G eine endliche Gruppe ist, kann man sich überzeugen, dass für ein beliebiges Element [mm] x\in [/mm] G gilt:
[mm] \qquad $x^{|G|}=e$
[/mm]
Beweis:
Nach dem Satz von Lagrange ist mit i als Index von x in der Gruppe sowie z=ord(x):
[mm] \qquad $|G|=z\cdot i\Rightarrow x^{|G|}=x^{z\cdot i}=\left(x^z\right)^i=e^i=e$
[/mm]
Hier ist konkret |G|=2n. Das bedeutet, es gibt [mm] x^n\in [/mm] G mit
[mm] \qquad $x^n\cdot x^n=x^{2n}=x^{|G|}=e$
[/mm]
Jetzt brauchst du nur noch begründen, warum [mm] x^n\neq [/mm] e für gewisses [mm] x\in [/mm] G.
EDIT: Diese Existenz gilt nicht für alle Gruppen, siehe hier. Danke Felix.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 16.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo steppenhahn,
> > Zeige: Ist [mm]G[/mm] eine endliche Gruppe mit [mm]|G|[/mm] gerade, so
> gibt
> > es [mm]x\in G[/mm] mit [mm]x\not= e[/mm] und [mm]x^2 = e[/mm].
> Da G eine endliche
> Gruppe ist, kann man sich überzeugen, dass für ein
> beliebiges Element [mm]x\in[/mm] G gilt:
> [mm]\qquad[/mm] [mm]x^{|G|}=e[/mm]
> Beweis:
> Nach dem Satz von Lagrange ist mit i als Index von x in
> der Gruppe sowie z=ord(x):
> [mm]\qquad[/mm] [mm]|G|=z\cdot i\Rightarrow x^{|G|}=x^{z\cdot i}=\left(x^z\right)^i=e^i=e[/mm]
>
> Hier ist konkret |G|=2n. Das bedeutet, es gibt [mm]x^n\in[/mm] G
> mit
> [mm]\qquad[/mm] [mm]x^n\cdot x^n=x^{2n}=x^{|G|}=e[/mm]
>
> Jetzt brauchst du nur noch begründen, warum [mm]x^n\neq[/mm] e für
> gewisses [mm]x\in[/mm] G.
Solche Elemente muss es nicht geben.
Sei $G = [mm] (\IZ/2\IZ) \times (\IZ/2\IZ)$ [/mm] (kleinsche Vierergruppe). $G$ hat vier Elemente, jedes Element hat Ordnung 1 oder 2.
Es ist also $n = 2$, und [mm] $x^n [/mm] = [mm] x^2 [/mm] = e$ fuer jedes $x [mm] \in [/mm] G$.
Es gibt also kein $x [mm] \in [/mm] G$ mit [mm] $x^n \neq [/mm] e$.
LG Felix
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Hallo!
Danke für deine Antwort, kamaleonti!
> Jetzt brauchst du nur noch begründen, warum [mm]x^n\neq[/mm] e für
> gewisses [mm]x\in[/mm] G.
Da mir die Begründung nicht so leicht fällt, würde ich gern von einem anderen Punkt starten:
Da $|G| = 2n$ ist, gibt es sicher ein Element [mm] $x\in [/mm] G$, welches $ord(x) = gerade$ erfüllt (denn sonst bestände die Gruppe aus mehreren neutralen Elementen, was nicht geht).
Ist $ord(x) = 2$, so bin ich fertig.
Ist $ord(x) > 2$, so erfüllt das Element $y = [mm] x^{ord(x) / 2}$ [/mm] die Bedingung [mm] $y^2 [/mm] = 1$ und es gilt [mm] $y\not= [/mm] 1$, weil sonst ja die Ordnung von x schon geringer gewesen wäre.
Geht das so auch?
Vielen Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 Mi 16.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Jetzt brauchst du nur noch begründen, warum [mm]x^n\neq[/mm] e für
> > gewisses [mm]x\in[/mm] G.
>
> Da mir die Begründung nicht so leicht fällt, würde ich
> gern von einem anderen Punkt starten:
>
> Da [mm]|G| = 2n[/mm] ist, gibt es sicher ein Element [mm]x\in G[/mm], welches
> [mm]ord(x) = gerade[/mm] erfüllt (denn sonst bestände die Gruppe
> aus mehreren neutralen Elementen, was nicht geht).
Das musst du genauer ausfuehren. Warum bestaende die Gruppe sonst aus mehreren neutralen Elementen?
> Ist [mm]ord(x) = 2[/mm], so bin ich fertig.
> Ist [mm]ord(x) > 2[/mm], so erfüllt das Element [mm]y = x^{ord(x) / 2}[/mm]
> die Bedingung [mm]y^2 = 1[/mm] und es gilt [mm]y\not= 1[/mm], weil sonst ja
> die Ordnung von x schon geringer gewesen wäre.
>
> Geht das so auch?
Wenn du den Punkt oben weiter ausfuehrst (das ist beim Beweis der springende Punkt, der Rest ist sozusagen "einfach" -- und du hast bisher nur das einfache ausgefuehrt und das wichtige weggelassen).
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort!!
> > Da mir die Begründung nicht so leicht fällt, würde ich
> > gern von einem anderen Punkt starten:
> >
> > Da [mm]|G| = 2n[/mm] ist, gibt es sicher ein Element [mm]x\in G[/mm], welches
> > [mm]ord(x) = gerade[/mm] erfüllt (denn sonst bestände die Gruppe
> > aus mehreren neutralen Elementen, was nicht geht).
>
> Das musst du genauer ausfuehren. Warum bestaende die Gruppe
> sonst aus mehreren neutralen Elementen?
Naja - die Gruppe besteht ja, weil sie gerade Ordnung hat, aus mehr als einem Element. Eines davon ist das neutrale Element. Da dieses eindeutig ist, gibt es also noch ein anderes Element, das mindestens Ordnung 2 hat (?)
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Mi 16.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Da mir die Begründung nicht so leicht fällt, würde ich
> > > gern von einem anderen Punkt starten:
> > >
> > > Da [mm]|G| = 2n[/mm] ist, gibt es sicher ein Element [mm]x\in G[/mm], welches
> > > [mm]ord(x) = gerade[/mm] erfüllt (denn sonst bestände die Gruppe
> > > aus mehreren neutralen Elementen, was nicht geht).
> >
> > Das musst du genauer ausfuehren. Warum bestaende die Gruppe
> > sonst aus mehreren neutralen Elementen?
>
> Naja - die Gruppe besteht ja, weil sie gerade Ordnung hat,
> aus mehr als einem Element. Eines davon ist das neutrale
> Element. Da dieses eindeutig ist, gibt es also noch ein
> anderes Element, das mindestens Ordnung 2 hat (?)
$G = [mm] \IZ/10\IZ$ [/mm] hat gerade Ordnung, und $x = 2 + [mm] 10\IZ \in [/mm] G$ ist nicht das neutrale Element, hat also Ordnung [mm] $\ge [/mm] 2$. Die Ordnung von $x$ ist aber 5, und somit nicht gerade.
Bisher reichen deine Argumente also nicht, da sie auch fuer dieses $x$ zutreffen :)
LG Felix
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Hallo Felix,
> Moin!
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> > > > Da mir die Begründung nicht so leicht fällt, würde ich
> > > > gern von einem anderen Punkt starten:
> > > >
> > > > Da [mm]|G| = 2n[/mm] ist, gibt es sicher ein Element [mm]x\in G[/mm], welches
> > > > [mm]ord(x) = gerade[/mm] erfüllt (denn sonst bestände die Gruppe
> > > > aus mehreren neutralen Elementen, was nicht geht).
> > >
> > > Das musst du genauer ausfuehren. Warum bestaende die Gruppe
> > > sonst aus mehreren neutralen Elementen?
> >
> > Naja - die Gruppe besteht ja, weil sie gerade Ordnung hat,
> > aus mehr als einem Element. Eines davon ist das neutrale
> > Element. Da dieses eindeutig ist, gibt es also noch ein
> > anderes Element, das mindestens Ordnung 2 hat (?)
>
> [mm]G = \IZ/10\IZ[/mm] hat gerade Ordnung, und [mm]x = 2 + 10\IZ \in G[/mm]
> ist nicht das neutrale Element, hat also Ordnung [mm]\ge 2[/mm]. Die
> Ordnung von [mm]x[/mm] ist aber 5, und somit nicht gerade.
>
> Bisher reichen deine Argumente also nicht, da sie auch fuer
> dieses [mm]x[/mm] zutreffen :)
Ok, ich sehe es - das klappt wohl nicht so. Ich müsste begründen können, warum es auch Elemente mit gerader Ordnung gibt. Aber muss das nicht so sein, wenn die Gruppenordnung gerade ist. Gäbe es nur Elemente mit ungerader Ordnung, so wäre doch bestimmt auch die Gruppenordnung ungerade.
Aber ehrlich gesagt komme ich gerade nicht so recht weiter...
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Do 17.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Stephan,
> Ok, ich sehe es - das klappt wohl nicht so. Ich müsste
> begründen können, warum es auch Elemente mit gerader
> Ordnung gibt. Aber muss das nicht so sein, wenn die
> Gruppenordnung gerade ist. Gäbe es nur Elemente mit
> ungerader Ordnung, so wäre doch bestimmt auch die
> Gruppenordnung ungerade.
ja, ist sie auch, nur das musst du in dieser Aufgabe gerade zeigen 
> Aber ehrlich gesagt komme ich gerade nicht so recht
> weiter...
Schau dir mal meinen Ansatz an.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Mi 16.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> Zeige: Ist [mm]G[/mm] eine endliche Gruppe mit [mm]|G|[/mm] gerade, so gibt
> es [mm]x\in G[/mm] mit [mm]x\not= e[/mm] und [mm]x^2 = e[/mm].
>
> Hallo!
>
> Bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter.
> Kann man das vielleicht mit Klassengleichung, etc.
> lösen?
Das geht schon, aber es geht auch viel einfacher 
Betrachte die Aequivalenzrelation $x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\Leftrightarrow [/mm] x = y [mm] \vee [/mm] x = [mm] y^{-1}$. [/mm] Wie gross sind die einzelnden Aequivalenzklassen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Mi 16.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Zeige: Ist [mm]G[/mm] eine endliche Gruppe mit [mm]|G|[/mm] gerade, so gibt
> > es [mm]x\in G[/mm] mit [mm]x\not= e[/mm] und [mm]x^2 = e[/mm].
> >
> > Hallo!
> >
> > Bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter.
> > Kann man das vielleicht mit Klassengleichung, etc.
> > lösen?
>
> Das geht schon, aber es geht auch viel einfacher
>
> Betrachte die Aequivalenzrelation [mm]x \sim y :\Leftrightarrow x = y \vee x = y^{-1}[/mm].
> Wie gross sind die einzelnden Aequivalenzklassen?
Du kannst alternativ auch die Gruppe $X = [mm] (\{ -1, 1 \}, \cdot)$ [/mm] auf $G$ wirken lassen durch $X [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G$, $(m, g) [mm] \mapsto g^m$, [/mm] und dann die Klassengleichung anwenden. Kommt auf das gleiche hinaus.
LG Felix
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Hallo Felix,
ich möchte auch deinen Hinweis hier nachgehen.
> Betrachte die Aequivalenzrelation [mm]x \sim y :\Leftrightarrow x = y \vee x = y^{-1}[/mm].
> Wie gross sind die einzelnden Aequivalenzklassen?
Für ein Element, für das [mm] x^2 [/mm] = 1 gilt, ist ja x = [mm] x^{-1}. [/mm] Damit müsste die Äquivalenzklasse eines solchen Elements nur aus dem Element selbst bestehen.
Für ein Element, für das [mm] $x^2 \not= [/mm] 1$, ist $x^-1 [mm] \not= [/mm] x$, d.h. die Äquivalenzklasse besteht aus mindestens zwei Elementen.
Da die Gruppe in Äquivalenzklassen aufgeteilt wird und die Gruppe gerade Ordnung hat, muss auch die Summe der Äquivalenzklassenmächtigkeiten gerade sein.
Bin ich schon auf dem richtigen Weg?
Ich weiß aber noch nicht genau, wie mich das zum Ziel bringt. Kannst du mir nochmal helfen?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Do 17.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Stephan,
> ich möchte auch deinen Hinweis hier nachgehen.
>
> > Betrachte die Aequivalenzrelation [mm]x \sim y :\Leftrightarrow x = y \vee x = y^{-1}[/mm].
> > Wie gross sind die einzelnden Aequivalenzklassen?
>
> Für ein Element, für das [mm]x^2[/mm] = 1 gilt, ist ja x = [mm]x^{-1}.[/mm]
> Damit müsste die Äquivalenzklasse eines solchen Elements
> nur aus dem Element selbst bestehen.
>
> Für ein Element, für das [mm]x^2 \not= 1[/mm], ist [mm]x^-1 \not= x[/mm],
> d.h. die Äquivalenzklasse besteht aus mindestens zwei
> Elementen.
Genau.
> Da die Gruppe in Äquivalenzklassen aufgeteilt wird und die
> Gruppe gerade Ordnung hat, muss auch die Summe der
> Äquivalenzklassenmächtigkeiten gerade sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bin ich schon auf dem richtigen Weg?
Ja.
> Ich weiß aber noch nicht genau, wie mich das zum Ziel
> bringt. Kannst du mir nochmal helfen?
Kannst du etwas ueber die Anzahl der Aequivalenzklassen mit genau einem Element sagen?
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antworten!
> > > Betrachte die Aequivalenzrelation [mm]x \sim y :\Leftrightarrow x = y \vee x = y^{-1}[/mm].
> > > Wie gross sind die einzelnden Aequivalenzklassen?
> >
> > Für ein Element, für das [mm]x^2[/mm] = 1 gilt, ist ja x = [mm]x^{-1}.[/mm]
> > Damit müsste die Äquivalenzklasse eines solchen Elements
> > nur aus dem Element selbst bestehen.
> >
> > Für ein Element, für das [mm]x^2 \not= 1[/mm], ist [mm]x^-1 \not= x[/mm],
> > d.h. die Äquivalenzklasse besteht aus mindestens zwei
> > Elementen.
> > Da die Gruppe in Äquivalenzklassen aufgeteilt wird und die
> > Gruppe gerade Ordnung hat, muss auch die Summe der
> > Äquivalenzklassenmächtigkeiten gerade sein.
> Kannst du etwas ueber die Anzahl der Aequivalenzklassen mit
> genau einem Element sagen?
Naja - Fakt ist, ich brauche die Existenz einer solchen Äquivalenzklasse. Das neutrale Element ist auf jeden Fall in einer solchen Äquivalenzklasse mit nur einem Element.
Wenn ich jetzt also noch nachweisen könnte, dass
- (1) die Äquivalenzklassen mit mehr als einem Element eine gerade Anzahl von Elementen haben
ODER
- (2) dass es eine gerade Anzahl von diesen Äquivalenzklassen mit mehr als einem Element gibt,
wäre ich fertig. Ist nicht (1) zutreffend?
Wenn wenn ich mal solch ein Klasse [x] mit mehr als einem Element untersuche, dann ist da noch [mm] x^{-1} \in [/mm] [x] und das wars?
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Sa 19.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> > > Da die Gruppe in Äquivalenzklassen aufgeteilt wird und die
> > > Gruppe gerade Ordnung hat, muss auch die Summe der
> > > Äquivalenzklassenmächtigkeiten gerade sein.
>
>
> > Kannst du etwas ueber die Anzahl der Aequivalenzklassen mit
> > genau einem Element sagen?
>
> Naja - Fakt ist, ich brauche die Existenz einer solchen
> Äquivalenzklasse. Das neutrale Element ist auf jeden Fall
> in einer solchen Äquivalenzklasse mit nur einem Element.
>
> Wenn ich jetzt also noch nachweisen könnte, dass
>
> - (1) die Äquivalenzklassen mit mehr als einem Element
> eine gerade Anzahl von Elementen haben
Kann sie ueberhaupt mehr als zwei Elemente haben? Denk mal darueber nach.
> wäre ich fertig. Ist nicht (1) zutreffend?
Ja.
> Wenn wenn ich mal solch ein Klasse [x] mit mehr als einem
> Element untersuche, dann ist da noch [mm]x^{-1} \in[/mm] [x] und das
> wars?
Genau. Mehr ist nicht drin (warum?).
LG Felix
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